Probabilidad y estadistica

Probabilidad 

2.1 Técnicas de Conteo

   2.1.1 Principio aditivo.

2.1.2 Principio multiplicativo.

2.1.3 Notación Factorial.

2.1.4 Permutaciones.

2.1.5 Combinaciones.

2.1.6 Diagrama de Árbol.

2.1.7 Teorema del Binomio.

2.2 Teoría elemental de probabilidad.

2.3 Probabilidad de Eventos: Definición de espacio muestral, definición de evento, simbología, unión,    intersección, diagramas de Venn.

2.4 Probabilidad con Técnicas de Conteo: Axiomas, Teoremas.  

2.5 Probabilidad condicional: Dependiente, Independiente.

2.6 Ley multiplicativa.

2.7 Eventos independientes: Regla de Bayes.

 Técnicas de Conteo

Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol, las que a continuación se explicarán y hay que destacar que éstas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado.

Principio aditivo

El principio aditivo es una técnica de conteo en probabilidad que permite medir de cuántas maneras se puede realizar una actividad que, a su vez, tiene varias alternativas para ser realizada, de las cuales se puede elegir solo una a la vez. Un ejemplo clásico de esto es cuando se quiere escoger una línea de transporte para ir de un lugar a otro.

Principio multiplicativo

El principio multiplicativo es una técnica que se utiliza para resolver problemas de conteo para hallar la solución sin que sea necesario enumerar sus elementos. Es conocido también como el principio fundamental del análisis combinatorio; se basa en la multiplicación sucesiva para determinar la forma en la que puede ocurrir un evento.

Este principio establece que, si una decisión (d₁) puede ser tomada de n maneras y otra decisión (d₂) puede tomarse de m maneras, el número total de maneras en las que pueden ser tomadas las decisiones d₁ y d₂ será igual a multiplicar de n _* m. Según el principio, cada decisión se realiza una tras otra: número de maneras = N_{1 *} N₂… _* N_x maneras.

 

Notación Factorial

La notación factorial se usa para calcular el producto de los primeros n números naturales, es decir, los enteros positivos, comenzando desde el 1 hasta el valor de n. Se denota mediante un signo de admiración y se llama n factorial:

n! = 1⋅2⋅3…. (n-1)⋅n

Permutaciones

El número de permutaciones de n elementos es: n !. En nuestro ejemplo tenemos 3 elementos, y por tanto, la cantidad de permutaciones posibles es 3!, o sea, 6. * Inversión: Dada una permutación, diremos que dos elementos están en inversión cuando su orden difiere del de la permutación principal.

Combinaciones

Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

 

COMBINACIONES.

Como ya se mencionó anteriormente, una combinación, es un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos.

 

La fórmula para determinar el número de combinaciones es:

 

 

Diagrama de Árbol

En la teoría de probabilidad, se puede usar un diagrama de árbol para representar un espacio de probabilidad. Los diagramas de árbol pueden representar una serie de eventos independientes o probabilidades condicionales. Cada nodo en el diagrama representa un evento y está asociado con la probabilidad de ese evento.

Teorema del Binomio.  

El teorema del binomio es una de las reglas que se pueden aplicar para resolver este tipo de operaciones. Es conocido también bajo el nombre del binomio de Newton, y se define como una ecuación a través de la cual se resuelve una expresión de la forma (a+b)n, donde n va a ser igual a cualquier número natural. Otra de las maneras de aplicar este teorema, permite conocer el coeficiente para un término bajo la forma akbn-k. Este postulado siempre ha sido atribuido al científico Isaac Newton, aunque existe evidencia que en torno al año 1000, en las civilizaciones del Medio Oriente, ya se aplicaba.

Teoría elemental de probabilidad.

El Cálculo de Probabilidades se ocupa de estudiar ciertos experimentos que se denominan aleatorios, cuya característica fundamental es la incertidumbre del resultado, esto significa que es imposible predecir los resultados porque hay más de uno posible.

 

Son ejemplos de experimentos aleatorios: lanzar un dado cinco veces, los instantes de llegadas a un abarrote, etc.

 

El término de probabilidad es de uso común, así el ente televisivo, el cual nos dirá que es poco probable un cambio brusco de temperatura ó un periódico informará que es muy probable que el Real Madrid gane en su campo a Las Palmas.

 

Este tipo de información es insuficiente cuando se necesita un conocimiento más profundo de un fenómeno aleatorio, Supongamos que una compañía de seguros va a extender una póliza por seguro de vida a un cliente. 

 

Este es el objetivo del Cálculo de Probabilidades, medir probabilidades relacionadas con cierto fenómeno aleatorio dado. Medir significa asignar a cada probabilidad un número determinado, esto nos permitiría obtener un conocimiento más preciso del fenómeno.

Probabilidad de Eventos: Definición de espacio muestral, definición de evento, simbología, unión, intersección, diagramas de Venn.  

*Definición de Espacio muestral (E): es el conjunto de los diferentes resultados que pueden darse en un experimento aleatorio o cuando se realiza un experimento, que es cualquier proceso que produce un resultado o una observación, se van a obtener un conjunto de valores. A este conjunto de valores que puede tomar una variable se le denomina espacio muestral.

 

Por ejemplo: Si se tiene un dado cualquiera, el espacio muestral (EM) es EM={1,2,3,4,5,6}.

 

Experimento {Lanzar un dado}, E={1,2,3,4,5,6}

 

Experimento {Lanzar una moneda}, E={Cara, Cruz}

 

 

 

*Definición de evento o sucesos**

 

 

La probabilidad clásica de un evento E, que denotaremos por P(E), se define como el número de eventos elementales que componen al evento E, entre el número de eventos elementales que componen el espacio muestral:

 

Cuando se tiene un espacio muestral llamamos, formalmente evento o suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral.

Decimos que un suceso se realiza, cuando el resultado del experimento aleatorio es uno de los sucesos posibles. 

 

Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo en el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos:

 

1. Obtener un número primo A = {2, 3, 5}

2. Obtener un número primo y par B = {2}

3. Obtener un número mayor o igual a 5 C = {5, 6}

 

*Simbología, uniones e intersecciones.**

 

1. A, B, C…=conjuntos.

2. a ,b ,c…=elementos de conjuntos

3. U=unión de conjuntos

4. ∩=intersección de conjuntos

5. A‟= complemento de un conjunto

6. / =dado que

 

7. \ diferencia

 

8. <>=diferente de

9. ( )=Conjunto nulo o vacio

10. R= conjunto de los números reales

11. N= conjunto de los números naturales

12. C= conjunto de los números complejos

13. n!= factorial de un numero entero positivo

14. Q= conjunto de los números fraccionarios

15. I= conjunto de los números irracionales

16. c= subconjuntos { }= llaves. Conjuntos vacíos Si A y B son dos subconjuntos de un conjunto S, los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos forman otro subconjunto de S llamado unión de A y B, escrito A U B. Los elementos comunes a A y B forman un subconjunto de S denominado intersección de A y B, escrito A& cap.  B.

 

Si A y B no tienen ningún elemento común se denominan conjuntos disjuntos ya que su intersección no tiene ningún elemento, y siendo conveniente representar esta intersección como otro conjunto, éste se denomina conjunto vacío o nulo y se representa con el símbolo Ø. Por ejemplo, si A = {2, 4, 6}, B = {4, 6, 8, 10} y C = {10, 14, 16, 26}, entonces A U B = {2, 4, 6, 8, 10}, A U C = {2, 4, 6, 10,14,

16, 26}, A ∩ B = {4, 6} y A ∩ C = Ø.

 

*Diagrama de venn**

 

Los Diagramas de Venn se basan fundamentalmente en representar los conjuntos matemáticos con unas “circunferencias”. Con estas circunferencias el estudiante realiza una serie de operaciones como la  unión, la intersección, etc. Podríamos decir que el manejo de los Diagramas de Veen sirven para orientar al estudiante, son una herramienta metodológica que tiene el profesor para explicar la Teoría de Conjuntos.  

 

Pues bien vamos a citar a continuación los ejemplos más importantes de los Diagramas de Veen.

 

Probabilidad con Técnicas de Conteo: Axiomas, Teoremas.   

Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades. Fueron formulados por Kolmogórov en 1933.

Los axiomas de la formulación moderna de la teoría de la probabilidad constituyen una base para deducir a partir de ellas un amplio número de resultados.

La letra  P se utiliza para designar la probabilidad de un evento, siendo  P(A) la probabilidad de ocurrencia de un evento A en un experimento.  

 AXIOMA 1  

Si A es un evento de S, entonces la probabilidad del evento A es:  

0 ≤ P(A) ≤ 1

Como no podemos obtener menos de cero éxitos ni más de  n éxitos en  n experimentos, la probabilidad de cualquier evento A, se representa mediante un valor que puede variar de 0 a 1.

AXIOMA 2  

Si dos eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de obtener  A o  B es igual a la probabilidad de obtener A más la probabilidad de obtener B.  

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 

Excluirse mutuamente quiere decir que  A y  B no pueden ocurrir simultáneamente en el mismo experimento. Así, la probabilidad de obtener águila o sol  en la misma tirada de una moneda será  

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)  

P(A ∪ B) = 1/2 + 1/2  = 1. 

En general podemos decir que la suma de las probabilidades de todos los posibles eventos mutuamente excluyentes es igual a 1:  

P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) = 1 

AXIOMA 3  

Si A es un evento cualquiera de un experimento aleatorio y A’ es el complemento de A, entonces:  

P(A’) = 1 -  P(A) 

Es decir, la probabilidad de que el evento A no ocurra, es igual a 1 menos la probabilidad de que ocurra.   

 teoremas 

Entonces el teorema de la probabilidad total viene a decir que si el suceso B puede ocurrir por alguna de las causas An, la probabilidad de que ocurra es la suma de las probabilidades de las causas (P(An)) por la probabilidad del suceso B condicionado a la causa (P(B/An)).

Probabilidad condicional: Dependiente, Independiente. 

Eventos Independientes

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.
Dos eventos, A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.
Por definición, A es independiente de B si y sólo si:A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.
Por definición, A es independiente de B si y sólo si:A es independiente de B si y sólo si:
(PnA)=P(A)P(B)

Eventos dependientes

Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P (A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.
Se debe tener claro que A|B no es una fracción.
P (A|B) = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A)
Probabilidad Condicional = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A)

Probabilidad Condicional
Si A y B son dos eventos en S, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió el evento B es la probabilidad condicional de A dado B, y se denota:A y B son dos eventos en S, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió el evento B es la probabilidad condicional de A dado B, y se denota:
P(AlB)

 Ley Multiplicativa

Esta regla concierne a la probabilidad de dos eventos sucediendo al mismo tiempo. Si los eventos son INDEPENDIENTES –i.e. no ejercen influencias entre si – entonces la probabilidad de que sucedan los dos es igual al producto de sus respectivas probabilidades.

Esta es una ley simple que puede ser aceptada en forma intuitiva. Esta ley no es válida para eventos que son dependientes entre sí, lo que es sujeto de Probabilidad condicional y Teorema de Bayes.

Se utiliza cuando se necesita saber cuál es probabilidad de que dos sucesos A y B ocurran al mismo tiempo.

Para aplicar esta ley es necesario saber si los sucesos A y B son independientes o dependientes.

CASO A INDEPENDIENTE

Evento cuyo resultado no tiene que ver con el resultado de otro(s) evento(s).

Por ejemplo, el resultado de lanzar una moneda, y que caiga de cualquier lado, no depende del resultado de ninguno de los lanzamientos es un evento independiente.

P(A y B) = P(A) * P(B) 

CASO B DEPENDIENTE

Evento cuyo resultado se ve afectado por el resultado de otro(s) evento(s). Sacar una segunda carta es un evento dependiente cuando se sacó una primera carta sin regresarla al paquete.

Sucesos Dependientes

P(A B) = P(A) * P(B/A)

Eventos independientes: Regla de Bayes.

El teorema de Bayes ha sido muy cuestionado. Lo cual se ha debido, principalmente, a su mala aplicación. Ya que, mientras se cumplan los supuestos de sucesos disjuntos y exhaustivos, el teorema es totalmente válido.

Fórmula del teorema de Bayes

Para calcular la probabilidad tal como la definió Bayes en este tipo de sucesos, necesitamos una fórmula. La fórmula se define matemáticamente como:

Donde B es el suceso sobre el que tenemos información previa y A(n) son los distintos sucesos condicionados. En la parte del numerador tenemos la probabilidad condicionada, y en la parte de abajo la probabilidad total. En cualquier caso, aunque la fórmula parezca un poco abstracta, es muy sencilla. Para demostrarlo, utilizaremos un ejemplo en el que en lugar de A(1), A(2) y A(3), utilizaremos directamente A, B y C.

 Fuentes 

https://www.google.com/search?client=firefox-b-d&q=T%C3%A9cnicas+de+Conteo

https://www.lifeder.com/principio-aditivo/

https://www.lifeder.com/principio-multiplicativo/

https://www.lifeder.com/notacion-factorial/

https://www.google.com/search?client=firefox-b-d&biw=1366&bih=654&sxsrf=ALeKk01yzabCwafn2WEfI2aYfRhQSM_KIg%3A1614396509696&ei=Xbw5YJj6KYWQtAby0KfQCA&q=combinaciones+probabilidad&oq=combinaciones&gs_lcp=Cgdnd3Mtd2l6EAEYBjIHCAAQRxCwAzIHCAAQRxCwAzIHCAAQRxCwAzIHCAAQRxCwAzIHCAAQRxCwAzIHCAAQRxCwAzIHCAAQRxCwAzIHCAAQRxCwA1AAWABg2RZoAHADeACAAYkCiAGJApIBAzItMZgBAKoBB2d3cy13aXrIAQjAAQE&sclient=gws-wiz

ttps://www.google.com/search?q=combinaciones&client=firefox-b-d&sxsrf=ALeKk03ch_ldE17_WYih0Dj15kyoI7vkdA:1614396507058&source=lnms&sa=X&ved=0ahUKEwihotHSj4nvAhVBVs0KHfAAC0oQ_AUIDigA&biw=1366&bih=654&dpr=1

https://www.google.com/search?client=firefox-b-d&q=diagrama+de+arbol

https://www.teorema.top/teorema-del-binomio/